Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} y = \frac{3}{2}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{2} d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{\frac{1}{2} x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{1}{2} x}$

Passaggio 1.4

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} y) = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} y = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Passaggio 2.2.3

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ e $y$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = e^{\frac{x}{2}} \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3

$e^{\frac{x}{2}}$ e $\frac{3}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}} \cdot 3}{2}$

Passaggio 2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 \cdot e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.5

Riordina i fattori in $e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\frac{x}{2}} y}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y e^{\frac{x}{2}}}{2} = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] = \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}} y] d x = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{\frac{x}{2}} y = \int \frac{3 e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Passaggio 6.2

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 6.2.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 6.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} \int 2 e^{u} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

$2$ e $\frac{3}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{6}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{x}{2}} y = \frac{3}{1} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.5.3.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 \int e^{u} d u$

Passaggio 6.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 (e^{u} + C)$

Passaggio 6.7

Semplifica.

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{u} + C$

Passaggio 6.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{x}{2}} + C$

Passaggio 6.9

Riordina i termini.

$e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{\frac{x}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{\frac{x}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{x}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x} + C$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} y}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{1}{2} x}$ e $e^{\frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $e^{\frac{x}{2}}$ da $3 e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{\frac{x}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}}$ per $1$ .

$y = 3 e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{2} x \cdot 2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 1$ .

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 3 e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 3 e^{\frac{x (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$y = 3 e^{\frac{x \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $x$ per $0$ .

$y = 3 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.4

Dividi $0$ per $2$ .

$y = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$y = 3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$

Passaggio 7.3.1.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{\frac{x}{2}}}$