Calcolo Esempi

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $\tan (x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $\tan (x)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.1.3.1.4

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

Passaggio 2.1.3.1.5

Dividi $- 8$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Passaggio 2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{2 y}{\tan (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 8 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.2.4

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.2.5

Dividi $y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $\cot (x)$ da $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Scomponi $\cot (x)$ da $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

Passaggio 2.2.3.1.2

Scomponi $\cot (x)$ da $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

Passaggio 2.2.3.1.3

Scomponi $\cot (x)$ da $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

Passaggio 2.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Passaggio 2.4.2

$2$ e $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Passaggio 2.4.3

Elimina il fattore comune di $y - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $y - 4$ da $\cot (x) (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Passaggio 2.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Passaggio 2.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

Passaggio 2.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sia $u = y - 4$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sia $u = y - 4$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Differenzia $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Passaggio 3.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 3.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Passaggio 3.2.1.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

Passaggio 3.3.2

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

Passaggio 4.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| \sin (x) |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

Passaggio 4.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica per $1$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

Passaggio 4.2.1.4

Frazioni separate.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

Passaggio 4.2.1.5

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

Passaggio 4.2.1.6

Dividi $| y - 4 |$ per $1$ .

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

Passaggio 4.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

Passaggio 4.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ .

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

Passaggio 4.5.2

Dividi per $\csc^{2} (x)$ ciascun termine in $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividi per $\csc^{2} (x)$ ciascun termine in $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ .

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\csc^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.2.2.1.2

Dividi $| y - 4 |$ per $1$ .

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.4

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

Passaggio 5.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$