Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + y = t$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$

Passaggio 2.2

Riordina i fattori in $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t e^{t}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t e^{t}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t e^{t} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{t} y = \int t e^{t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Passaggio 6.2

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$e^{t} y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{t}$ ciascun termine in $e^{t} y = t e^{t} - e^{t} + C$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{t e^{t}}{e^{t}} + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = t + \frac{- e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y = t - 1 + \frac{C}{e^{t}}$