Calcolo Esempi

$y (u^{2} + 1) d u + (u^{3} - 3 u) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y (u^{2} + 1) d u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(u^{3} - 3 u) d y = - y (u^{2} + 1) d u$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ .

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $u^{3} - 3 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $u^{3} - 3 u$ da $(u^{3} - 3 u) y$ .

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) (y)} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (u^{3} - 3 u) d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (- y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(u^{3} - 3 u) y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(u^{3} - 3 u) y} (y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $(u^{3} - 3 u) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (u^{3} - 3 u)} (y (u^{2} + 1)) d u$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u^{3} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Passaggio 3.4

Scomponi $u$ da $u^{3} - 3 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $u$ da $u^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} - 3 u} (u^{2} + 1) d u$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $u$ da $- 3 u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u \cdot u^{2} + u \cdot - 3} (u^{2} + 1) d u$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $u$ da $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} (u^{2} + 1) d u$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{u (u^{2} - 3)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} u^{2} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Passaggio 3.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u (u^{2} - 3)} (u \cdot u) - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Passaggio 3.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- 1}{u^{2} - 3} u - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Passaggio 3.8

$\frac{- 1}{u^{2} - 3}$ e $u$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)} \cdot 1) d u$

Passaggio 3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{y} d y = (\frac{- u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Passaggio 3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Passaggio 3.11

Per scrivere $- \frac{u}{u^{2} - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u}{u^{2} - 3} \cdot \frac{u}{u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Passaggio 3.12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(u^{2} - 3) u$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $\frac{u}{u^{2} - 3}$ per $\frac{u}{u}$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{(u^{2} - 3) u} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Passaggio 3.12.2

Riordina i fattori di $(u^{2} - 3) u$ .

$\frac{1}{y} d y = (- \frac{u \cdot u}{u (u^{2} - 3)} - \frac{1}{u (u^{2} - 3)}) d u$

Passaggio 3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u \cdot u - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 3.14

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Sposta $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u \cdot u) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 3.14.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- u^{2} - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 3.15

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 3.16

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2}) - 1 (1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 3.17

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 3.18

Riscrivi $- (u^{2} + 1)$ come $- 1 (u^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1 (u^{2} + 1)}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 4.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{u^{2} + 1}{u (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $u (u^{2} - 3)$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(u^{2} + 1) (u (u^{2} - 3))}{u (u^{2} - 3)} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $u^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 3)}{u^{2} - 3} = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Dividi $u^{2} + 1$ per $1$ .

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + 1 = \frac{A (u (u^{2} - 3))}{u} + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.5.1.2

Dividi $A (u^{2} - 3)$ per $1$ .

$u^{2} + 1 = A (u^{2} - 3) + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$u^{2} + 1 = A u^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.5.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $u^{2} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + \frac{(B u + C) (u (u^{2} - 3))}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.1.5.4.2

Dividi $(B u + C) (u)$ per $1$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + (B u + C) (u)$

Passaggio 4.3.2.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u \cdot u + C u$

Passaggio 4.3.2.1.5.6

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.5.6.1

Sposta $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B (u \cdot u) + C u$

Passaggio 4.3.2.1.5.6.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} - 3 A + B u^{2} + C u$

Passaggio 4.3.2.1.6

Sposta $- 3 A$ .

$u^{2} + 1 = A u^{2} + B u^{2} + C u - 3 A$

Passaggio 4.3.2.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $u^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $u$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = C$

Passaggio 4.3.2.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $u$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.3.2.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.3.2.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 0$ .

$C = 0$

$1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.3.2.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 1$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{1}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = A + B$ con $- \frac{1}{3}$ .

$1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.4

Risolvi per $B$ in $1 = - \frac{1}{3} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{3} + B = 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.4.2.1

Somma $\frac{1}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.4.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$B = \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$B = \frac{3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.4.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{4}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{4}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Passaggio 4.3.2.3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{4}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Passaggio 4.3.2.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{u} + \frac{B u + C}{u^{2} - 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4}{3 u} + 0}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{(\frac{4}{3}) u + 0}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.2.1

$\frac{4}{3}$ e $u$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3} + 0}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.5.2.2

Somma $\frac{4 u}{3}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{\frac{4 u}{3}}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3} \cdot \frac{1}{u^{2} - 3}$

Passaggio 4.3.2.5.4

Moltiplica $\frac{4 u}{3}$ per $\frac{1}{u^{2} - 3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Passaggio 4.3.2.5.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Passaggio 4.3.2.5.6

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u \cdot 3} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)}$

Passaggio 4.3.2.5.7

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{3 u} + \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u$

Passaggio 4.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{3 u} d u + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Passaggio 4.3.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \int \frac{4 u}{3 (u^{2} - 3)} d u)$

Passaggio 4.3.7

Poiché $\frac{4}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{4}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{u}{u^{2} - 3} d u)$

Passaggio 4.3.8

Sia $u_{1} = u^{2} - 3$ . Allora $d u_{1} = 2 u d u$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Sia $u_{1} = u^{2} - 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1.1

Differenzia $u^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2} - 3]$

Passaggio 4.3.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u^{2} - 3$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 3]$

Passaggio 4.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [- 3]$

Passaggio 4.3.8.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $u$ è $0$ .

$2 u + 0$

Passaggio 4.3.8.1.5

Somma $2 u$ e $0$ .

$2 u$

Passaggio 4.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1})$

Passaggio 4.3.9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 4.3.10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

Passaggio 4.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 4.3.11.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{4}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 4.3.11.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 (2)}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 4.3.11.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.11.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 4.3.11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 4.3.11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 4.3.12

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{2}) + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{3}))$

Passaggio 4.3.13

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |)) + C_{4}$

Passaggio 4.3.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $u^{2} - 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Passaggio 4.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.15.1.1

$\ln (| u |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.1.2

$\frac{2}{3}$ e $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}) + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| u |) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.3

Scomponi $- 1$ da $- \ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) + 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.4

Scomponi $- 1$ da $2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.5

Scomponi $- 1$ da $- (\ln (| u |)) - (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.6

Riscrivi $- (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ come $- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |))}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.15.9

Moltiplica $\frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C_{4}$

Passaggio 4.3.16

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} (\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| u |) + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Passaggio 5.1.1.2

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)) + C$

Passaggio 5.1.1.3

Moltiplica $\frac{1}{3} (- 2 \ln (| u^{2} - 3 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2}{3} \ln (| u^{2} - 3 |) + C$

Passaggio 5.1.1.3.2

$\frac{- 2}{3}$ e $\ln (| u^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Passaggio 5.1.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$

Passaggio 5.2

Moltiplica per $3$ ciascun termine in $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica ogni termine in $\ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} + C$ per $3$ .

$\ln (| y |) \cdot 3 = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (| y |)$ .

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 \ln (| y |) = \frac{\ln (| u |)}{3} \cdot 3 - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3}$ nel numeratore.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) + \frac{- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$3 \ln (| y |) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica $3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $\ln (| u |) - 2 \ln (| u^{2} - 3 |) + 3 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| u^{2} - 3 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({| u^{2} - 3 |}^{2}) + 3 C$

Passaggio 5.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| u^{2} - 3 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (| u |) - \ln ({(u^{2} - 3)}^{2}) + 3 C$

Passaggio 5.4.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln ({| y |}^{3}) = \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) + 3 C$

Passaggio 5.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}) = 3 C$

Passaggio 5.6

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{\frac{| u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}) = 3 C$

Passaggio 5.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln ({| y |}^{3} (\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})) = 3 C$

Passaggio 5.8

${| y |}^{3}$ e $\frac{{(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$

Passaggio 5.9

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |})} = e^{3 C}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $\ln (\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}) = 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = \frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |}$

Passaggio 5.11

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} = e^{3 C}$

Passaggio 5.11.2

Moltiplica ogni lato per $| u |$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Passaggio 5.11.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.3.1

Elimina il fattore comune di $| u |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{| u |} | u | = e^{3 C} | u |$

Passaggio 5.11.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$

Passaggio 5.11.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.1

Dividi per ${(u^{2} - 3)}^{2}$ ciascun termine in ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.1.1

Dividi per ${(u^{2} - 3)}^{2}$ ciascun termine in ${| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2} = e^{3 C} | u |$ .

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.1.2.1

Elimina il fattore comune di ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| y |}^{3} {(u^{2} - 3)}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.1.2.1.2

Dividi ${| y |}^{3}$ per $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Passaggio 5.11.4.3

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C} | u |}{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ come $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Passaggio 5.11.4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.2.1

Riscrivi $e^{3 C}$ come ${(e^{C})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3} | u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Passaggio 5.11.4.3.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$

Passaggio 5.11.4.3.3

Moltiplica $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.4.1

Moltiplica $\frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.2

Eleva $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{3}$ come ${(u^{2} - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ come ${(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{({(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.3

$\frac{2}{3}$ e $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{6}{3}}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.4.5.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.4.5.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{\frac{2}{1}}}$

Passaggio 5.11.4.3.4.5.5.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} {\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.5.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2}}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(u^{2} - 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{2 \cdot 2}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2} - 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.3

Usa il teorema binomiale.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{{(u^{2})}^{4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.5.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.5.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{2 \cdot 4} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 {(u^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{2 \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} + 4 u^{6} \cdot - 3 + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.3

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 {(u^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.3.5.4.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{2 \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} {(- 3)}^{2} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 6 u^{4} \cdot 9 + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.6

Moltiplica $9$ per $6$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.7

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} + 4 u^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.8

Moltiplica $- 27$ per $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + {(- 3)}^{4}}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.4.9

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u |} \sqrt[3]{u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.5.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.3.6

Riordina i fattori in $\frac{e^{C} \sqrt[3]{(u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81) | u |}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$ .

$| y | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 5.11.4.4

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{C \sqrt[3]{| u | (u^{8} - 12 u^{6} + 54 u^{4} - 108 u^{2} + 81)}}{{(u^{2} - 3)}^{2}}$