Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = - b y (t)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

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Passaggio 1.1

Somma $b y t$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} + b y t = 0$

Passaggio 1.2

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d t} + b t y = 0$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = b t$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int b t d t}$

Passaggio 2.2

Integra $b t$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $b$ è costante rispetto a $t$ , sposta $b$ fuori dall'integrale.

$e^{b \int t d t}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{b (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $b (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ come $b \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$e^{b \frac{1}{2} t^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

$b$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2

$\frac{b}{2}$ e $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2} + C}$

$e^{\frac{1}{2} b t^{2} + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{1}{2} b t^{2}}$

Passaggio 2.4

$\frac{1}{2}$ e $b$ .

$e^{\frac{b}{2} t^{2}}$

Passaggio 2.5

$\frac{b}{2}$ e $t^{2}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = e^{\frac{b t^{2}}{2}} \cdot 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ per $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{\frac{b t^{2}}{2}} (b t y) = 0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} \frac{d y}{d t} + (b t) y e^{\frac{b t^{2}}{2}} = 0$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] = 0$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{b t^{2}}{2}} y] d t = \int 0 d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = \int 0 d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

L'integrale di $0$ rispetto a $t$ è $0$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = 0 + C$

Passaggio 7.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ ciascun termine in $e^{\frac{b t^{2}}{2}} y = C$ .

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{\frac{b t^{2}}{2}}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{\frac{b t^{2}}{2}} y}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{b t^{2}}{2}}}$