Calcolo Esempi

$(x + 1) d x + (y - 3) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(x + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(y - 3) d y = - (x + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int - (x + 1) d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int - (x + 1) d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - (x + 1) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int - x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Passaggio 3.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = - \frac{x^{2}}{2} - x + K$

Passaggio 3.3

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Somma $\frac{x^{2}}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} = - x + K$

Passaggio 3.3.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x = K$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y + \frac{x^{2}}{2} + x - K = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} - 6 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y + x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $- 6 y$ .

$y^{2} + x^{2} + 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Passaggio 3.4.4

Sposta $2 x$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Passaggio 3.4.5

Riordina $y^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 x - 6 y = 0$

Passaggio 3.5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = x^{2} - 2 K + 2 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Scomponi $4$ da $36 - 4 x^{2} + 8 K - 8 x$ .

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Passaggio 3.7.1.5.1

Scomponi $4$ da $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) - 4 x^{2} + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.2

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 8 K - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.3

Scomponi $4$ da $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) - 8 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.4

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (- x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.5

Scomponi $4$ da $4 (9) + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.6

Scomponi $4$ da $4 (9 - x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5.7

Scomponi $4$ da $4 (9 - x^{2} + 2 K) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Riscrivi $4 (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)$ come $2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)$ .

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Passaggio 3.7.1.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + 2 K - 2 x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = 3 + \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 - x^{2} + K - 2 x}$