Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 2$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d t}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{2 t + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 t}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{2 t}$ per $e^{2 t}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 t$ e $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Sia $u = 4 t$ . Allora $d u = 4 d t$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1.1

Sia $u = 4 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Differenzia $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Passaggio 7.1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 7.1.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 7.3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 7.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 7.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{2 t}$ ciascun termine in $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{2 t}$ ciascun termine in $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 t}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{4 t}$ e $e^{2 t}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $e^{2 t}$ da $\frac{1}{4} e^{4 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{4} e^{2 t}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{1}{4}$ e $e^{2 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $1$ e $y$ con $2$ in $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ .

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Passaggio 10.2

Semplifica $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ .

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

Passaggio 10.3

Sottrai $\frac{e^{2}}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

Passaggio 10.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $e^{2}$ .

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Passaggio 10.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 10.5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.5.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{2}$ .

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Passaggio 10.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Passaggio 10.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.5.2.1

Semplifica $e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ .

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Passaggio 10.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Passaggio 10.5.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Passaggio 10.5.2.1.3

Moltiplica $e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ .

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Passaggio 10.5.2.1.3.1

$e^{2}$ e $\frac{e^{2}}{4}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

Passaggio 10.5.2.1.3.2

Moltiplica $e^{2}$ per $e^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.5.2.1.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

Passaggio 10.5.2.1.3.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

Passaggio 11

Sostituisci $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ a $C$ in $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ e semplifica.

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Passaggio 11.1

Sostituisci $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ a $C$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Passaggio 11.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.2.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.2.1.1

Per scrivere $2 e^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Passaggio 11.2.1.2

$2 e^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Passaggio 11.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ per $\frac{1}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Passaggio 11.3

Per scrivere $\frac{e^{2 t}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Passaggio 11.4

Moltiplica $\frac{e^{2 t}}{4}$ per $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Passaggio 11.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Passaggio 11.6

Moltiplica $e^{2 t}$ per $e^{2 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Passaggio 11.6.2

Somma $2 t$ e $2 t$ .

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$