Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} - 2 = y^{2} - 3 y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 3 y + 2$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 3 y + 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 3 y + 2$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 3 y}{x} + \frac{2}{x}$

Passaggio 1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 3 y + 2}{x}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $y^{2} - 3 y + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 1.2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y - 2) (y - 1)}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(y - 2) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 1)}{x}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $(y - 2) (y - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 1)}{x}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{(y - 2) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{(y - 2) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{y - 2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(y - 2) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y - 2) (y - 1)}{(y - 2) (y - 1)} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y - 2) (y - 1)}{(y - 2) (y - 1)} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (y - 2) (y - 1)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6.1.2

Dividi $(A) (y - 1)$ per $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y - 2) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6.5.2

Dividi $(B) (y - 2)$ per $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y - 2)$

Passaggio 2.2.1.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y - A + B y + B \cdot - 2$

Passaggio 2.2.1.1.6.7

Sposta $- 2$ alla sinistra di $B$ .

$1 = A y - A + B y - 2 B$

Passaggio 2.2.1.1.7

Sposta $- A$ .

$1 = A y + B y - A - 2 B$

Passaggio 2.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A - 2 B$

Passaggio 2.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Passaggio 2.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

Passaggio 2.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 1 A - 2 B$ con $- B$ .

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- B) - 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.2

Sottrai $2 B$ da $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Passaggio 2.2.1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Passaggio 2.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = - 1$

Passaggio 2.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{y - 2} + \frac{- 1}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{y - 2} - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y - 2} d y + \int - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Sia $u_{1} = y - 2$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sia $u_{1} = y - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 2.2.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Passaggio 2.2.3.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sia $u_{2} = y - 1$ . Allora $d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Sia $u_{2} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.6.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.9

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y - 2$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y - 1$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}}{| x |}) = C$

Passaggio 3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |} \cdot \frac{1}{| x |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{| y - 2 |}{| y - 1 |}$ per $\frac{1}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y - 1 | | x |}) = C$

Passaggio 3.4.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| (y - 1) x |}) = C$

Passaggio 3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y x - 1 x |}) = C$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| y x - x |}) = C$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $x$ da $y x - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $x$ da $y x$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| x y - x |}) = C$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| x y + x \cdot - 1 |}) = C$

Passaggio 3.5.3.3

Scomponi $x$ da $x y + x \cdot - 1$ .

$\ln (\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |}) = C$

Passaggio 3.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |})} = e^{C}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\ln (\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |}$

Passaggio 3.8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} = e^{C}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica ogni lato per $| x (y - 1) |$ .

$\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} | x (y - 1) | = e^{C} | x (y - 1) |$

Passaggio 3.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $| x (y - 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y - 2 |}{| x (y - 1) |} | x (y - 1) | = e^{C} | x (y - 1) |$

Passaggio 3.8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y - 2 | = e^{C} | x (y - 1) |$

Passaggio 3.8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.2.1

Semplifica $e^{C} | x (y - 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.2.1.1

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$| y - 2 | = e^{C} | x y + x \cdot - 1 |$

Passaggio 3.8.3.2.1.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$| y - 2 | = e^{C} | x y - 1 \cdot x |$

Passaggio 3.8.3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$| y - 2 | = e^{C} | x y - x |$

Passaggio 3.8.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$ .

$e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$

Passaggio 3.8.4.2

Dividi per $e^{C}$ ciascun termine in $e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.2.1

Dividi per $e^{C}$ ciascun termine in $e^{C} | x y - x | = | y - 2 |$ .

$\frac{e^{C} | x y - x |}{e^{C}} = \frac{| y - 2 |}{e^{C}}$

Passaggio 3.8.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{C} | x y - x |}{e^{C}} = \frac{| y - 2 |}{e^{C}}$

Passaggio 3.8.4.2.2.1.2

Dividi $| x y - x |$ per $1$ .

$| x y - x | = \frac{| y - 2 |}{e^{C}}$

Passaggio 3.8.4.3

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$x y - x = \frac{y - 2}{e^{C}}$

$x y - x = - \frac{y - 2}{e^{C}}$

$- (x y - x) = \frac{y - 2}{e^{C}}$

$- (x y - x) = - \frac{y - 2}{e^{C}}$

Passaggio 3.8.4.4

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$x y - x = \frac{y - 2}{e^{C}}$

$x y - x = - \frac{y - 2}{e^{C}}$

Passaggio 3.8.4.5

Risolvi $x y - x = \frac{y - 2}{e^{C}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.1

Moltiplica ogni lato per $e^{C}$ .

$(x y - x) e^{C} = \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 3.8.4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 3.8.4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 3.8.4.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x y e^{C} - x e^{C} = y - 2$

Passaggio 3.8.4.5.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y e^{C} - x e^{C} - y = - 2$

Passaggio 3.8.4.5.3.2

Somma $x e^{C}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y e^{C} - y = - 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.5.3.3

Scomponi $y$ da $x y e^{C} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.3.1

Scomponi $y$ da $x y e^{C}$ .

$y (x e^{C}) - y = - 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.5.3.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot - 1 = - 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.5.3.3.3

Scomponi $y$ da $y (x e^{C}) + y \cdot - 1$ .

$y (x e^{C} - 1) = - 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4

Dividi per $x e^{C} - 1$ ciascun termine in $y (x e^{C} - 1) = - 2 + x e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.4.1

Dividi per $x e^{C} - 1$ ciascun termine in $y (x e^{C} - 1) = - 2 + x e^{C}$ .

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 2}{x e^{C} - 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x e^{C} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 2}{x e^{C} - 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 2}{x e^{C} - 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.5.3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 2 + x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4.3.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 (2) + x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $x e^{C}$ .

$y = \frac{- 1 (2) - (- x e^{C})}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (- x e^{C})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - x e^{C})}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.5.3.4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

Passaggio 3.8.4.6

Risolvi $x y - x = - \frac{y - 2}{e^{C}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.1

Moltiplica ogni lato per $e^{C}$ .

$(x y - x) e^{C} = - \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x y e^{C} - x e^{C} = - \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.2.2.1

Semplifica $- \frac{y - 2}{e^{C}} e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y - 2}{e^{C}}$ nel numeratore.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{- (y - 2)}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x y e^{C} - x e^{C} = \frac{- (y - 2)}{e^{C}} e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x y e^{C} - x e^{C} = - (y - 2)$

Passaggio 3.8.4.6.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x y e^{C} - x e^{C} = - y - - 2$

Passaggio 3.8.4.6.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$x y e^{C} - x e^{C} = - y + 2$

Passaggio 3.8.4.6.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.3.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y e^{C} - x e^{C} + y = 2$

Passaggio 3.8.4.6.3.2

Somma $x e^{C}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y e^{C} + y = 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.3.3

Scomponi $y$ da $x y e^{C} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.3.3.1

Scomponi $y$ da $x y e^{C}$ .

$y (x e^{C}) + y = 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.3.3.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y (x e^{C}) + y = 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.3.3.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot 1 = 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.3.3.4

Scomponi $y$ da $y (x e^{C}) + y \cdot 1$ .

$y (x e^{C} + 1) = 2 + x e^{C}$

Passaggio 3.8.4.6.3.4

Dividi per $x e^{C} + 1$ ciascun termine in $y (x e^{C} + 1) = 2 + x e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.3.4.1

Dividi per $x e^{C} + 1$ ciascun termine in $y (x e^{C} + 1) = 2 + x e^{C}$ .

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{2}{x e^{C} + 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Passaggio 3.8.4.6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x e^{C} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{2}{x e^{C} + 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Passaggio 3.8.4.6.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2}{x e^{C} + 1} + \frac{x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Passaggio 3.8.4.6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.6.3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Passaggio 3.8.4.7

Elenca tutte le soluzioni.

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 - x e^{C}}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{2 + x e^{C}}{x e^{C} + 1}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{2 - x C}{x C - 1}$

$y = \frac{2 + x C}{x C + 1}$