Calcolo Esempi

$4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $4 x y$ ciascun termine in $4 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.1

Scomponi $x$ da $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (4 y)} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{x}{4 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 y x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $\frac{x}{4 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 y x} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.2.2

Riordina i fattori di $4 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{4 x y} + \frac{1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + 1}{4 x y}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{4 x y}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $y$ da $4 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} + 1}{y (4 x)}$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{4 x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{4 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi $x^{2} + 1$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Passaggio 2.3.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Passaggio 2.3.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Passaggio 2.3.2.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Passaggio 2.3.2.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |)) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Combina.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

$\frac{1}{4}$ e $\ln (| x |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.1.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{8} + \frac{\ln (| x |)}{4} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (4)} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{4} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 (2)} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{\ln (| x |)}{2 \cdot 2} + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln (| x |)}{2} + 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (| x |)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} \ln (| x |) + 2 C}$

Passaggio 3.4.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{4}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + \frac{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Riordina $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ e $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Semplifica $4 \cdot \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4})}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 4})}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln ({| x |}^{2})}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.4.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C}$

Passaggio 3.4.5

Per scrivere $2 C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + 2 C \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 3.4.6

$2 C$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2})}{4} + \frac{2 C \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C \cdot 4}{4}}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}}$

Passaggio 3.4.9

Riscrivi $\frac{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.9.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{4}}$

Passaggio 3.4.9.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.9.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C)}$

Passaggio 3.4.10

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$

Passaggio 3.4.11

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + 8 C}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + \ln (x^{2}) + C}}{2}$