Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = 3 x^{3} + 1$ . Allora $d u = 9 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = 3 x^{3} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $3 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.5.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Passaggio 2.3.5.1.4.2

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$9 x^{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 9} d u$

Passaggio 2.3.6.3

Sposta $9$ alla sinistra di $u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{9}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{9}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Passaggio 2.3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.8.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.1.1

$\frac{1}{9}$ e $9$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 2.3.8.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 1 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$ per $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.8.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.8.2.1

Sposta $u^{\frac{3}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.8.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.8.2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.3.8.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.8.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.8.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{3}$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{3} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + K$