Calcolo Esempi

$(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{3} + y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1 + 0$

Passaggio 1.6

Somma $3 y^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x y^{2} - x]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 3 y^{2} - 1$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $3 y^{2} + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$3 y^{2} + 1 = - 3 y^{2} + 2 x - 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3 y^{2} + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $- 3 y^{2} + 2 x - 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ a $N$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2} + 2 x - 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 y^{2} + 1 - (- 3 y^{2}) - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - (2 x) - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x - - 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} + 1 + 3 y^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $3 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{6 y^{2} + 1 - 2 x + 1}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{6 y^{2} - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $2$ da $6 y^{2} - 2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $6 y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) - 2 x + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (3 y^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.5.4

Scomponi $2$ da $2 (3 y^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.2.5.5

Scomponi $2$ da $2 (3 y^{2} - x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x^{2} - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $x$ da $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $x$ da $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.3.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.3.5

Scomponi $x$ da $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 y^{2} - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} - x + 1$ e $x - 3 y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - x + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Passaggio 4.3.4.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2}) - (x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (- 3 y^{2}) - (x)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) + 1)}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Passaggio 4.3.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (- 3 y^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Passaggio 4.3.4.6

Riscrivi $- (- 3 y^{2} + x - 1)$ come $- 1 (- 3 y^{2} + x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (x - 3 y^{2} - 1)}$

Passaggio 4.3.4.7

Riordina i termini.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Passaggio 4.3.4.8

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 1 (- 3 y^{2} + x - 1))}{x (- 3 y^{2} + x - 1)}$

Passaggio 4.3.4.9

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(y^{3} + y + 1) d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y^{3} + y + 1$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(y^{3} + y + 1) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $y^{3} + y + 1$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 3 x y^{2} - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi $x$ da $x^{2} - 3 x y^{2} - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 3 x y^{2} - x}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $x$ da $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) - x}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5.3

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.5.5

Scomponi $x$ da $x (x - 3 y^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 3 y^{2} - 1)}{x \cdot x} d y = 0$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x + \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{y^{3} + y + 1}{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $y^{3} + y + 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $y^{3} + y + 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 8.2

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 8.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) \int x^{- 2} d x$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 8.5

Riscrivi $(y^{3} + y + 1) (- x^{- 1} + C)$ come $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $- \frac{1}{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $(y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x})$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + y + 1] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- \frac{1}{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.3.6

Somma $3 y^{2} + 1$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} (3 y^{2} + 1) + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{x} (3 y^{2}) - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.5.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x} y^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.5.2.3

$\frac{- 3}{x}$ e $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.5.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.5.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{x - 3 y^{2} - 1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{1}{x} - \frac{x - 3 y^{2} - 1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - (x - 3 y^{2} - 1)}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x - (- 3 y^{2}) - - 1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Semplifica.

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Passaggio 12.1.1.3.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} - - 1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $- 3 y^{2} - 1 - x + 3 y^{2} + 1$ .

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Passaggio 12.1.1.4.1

Somma $- 3 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 0 + 1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- 1 - x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 - x + 1}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.4

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 12.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $1$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Passaggio 13.3

Applica la regola costante.

$g (y) = y + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + g (y)$ .

$f (x, y) = (y^{3} + y + 1) (- \frac{1}{x}) + y + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = y^{3} (- \frac{1}{x}) + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Passaggio 15.2

Semplifica.

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Passaggio 15.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} + y (- \frac{1}{x}) + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Passaggio 15.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} + 1 (- \frac{1}{x}) + y + C$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{x}$ per $1$ .

$f (x, y) = - y^{3} \frac{1}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Passaggio 15.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.3.1

$\frac{1}{x}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - y \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + y + C$

Passaggio 15.3.2

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} - \frac{y}{x} - \frac{1}{x} + y + C$