Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 2 x \ln (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (x^{2} + 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{d y}{d x} + x (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d y}{d x} - x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = 0$

Passaggio 1.1.2

Somma $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $x \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ come $x (2 \ln (x^{2} + 1))$ .

$y + C_{1} = \int x (2 \ln (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int x (\ln (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 2.3.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x^{2} + 1)$ e $d v = x$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (x^{2} + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 2.3.4.2

$\ln (x^{2} + 1)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 2.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 2.3.4.4

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2} (2 x)}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Passaggio 2.3.4.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.4.5.1

Sposta $x$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Passaggio 2.3.4.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.4.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Passaggio 2.3.4.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{1 + 2} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Passaggio 2.3.4.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3} \cdot 2}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Passaggio 2.3.4.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 \cdot x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Passaggio 2.3.4.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.7.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{2 x^{3}}{2 (x^{2} + 1)} d x)$

Passaggio 2.3.4.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 2.3.5

Dividi $x^{3}$ per $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Passaggio 2.3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 + x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Passaggio 2.3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Passaggio 2.3.5.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Passaggio 2.3.5.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 2.3.6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x))$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Passaggio 2.3.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Passaggio 2.3.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Passaggio 2.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x))$

Passaggio 2.3.11

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.11.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.11.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.3.11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.11.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.11.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.11.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u))$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u))$

Passaggio 2.3.12.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \int \frac{1}{2 u} d u))$

Passaggio 2.3.13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)))$

Passaggio 2.3.14

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{3})))$

Passaggio 2.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| u |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.16

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.17.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = 2 \frac{\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.17.2

Riordina i fattori in $\ln (x^{2} + 1) x^{2} - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.17.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.17.3.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = 2 \frac{x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.17.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = x^{2} \ln (x^{2} + 1) - x^{2} + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.18

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - x^{2} + x^{2} \ln (x^{2} + 1) + \ln (| x^{2} + 1 |) + C$