Calcolo Esempi

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Sottrai $y d y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Passaggio 2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x e^{x^{2} + y}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x^{2} + y$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 2.4.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 2.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $e^{x^{2} + y}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = - y$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $x e^{x^{2} + y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x e^{x^{2} + y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x e^{x^{2} + y}$ a $M$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x e^{x^{2} + y}$ a $M$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $x e^{x^{2} + y}$ da $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.3.4

Sostituisci $x e^{x^{2} + y}$ a $M$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Passaggio 5.3.4.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - 1 d y}$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{- y}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $x e^{x^{2} + y}$ per $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $e^{x^{2} + y}$ per $e^{- y}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.1

Sposta $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Passaggio 7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Passaggio 7.2.3

Combina i termini opposti in $- y + x^{2} + y$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Somma $- y$ e $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Passaggio 7.2.3.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- y$ per $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 9.1.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 9.1.1.1

Differenzia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 9.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 9.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 9.1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 9.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 9.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 9.1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 9.1.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Passaggio 9.1.1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Passaggio 12.3

Poiché $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Passaggio 12.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- y e^{- y}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Passaggio 13.4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Passaggio 13.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Passaggio 13.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Passaggio 13.6.2

Moltiplica $\int e^{- y} d y$ per $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Passaggio 13.7

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.7.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 13.7.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 13.7.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 13.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 13.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 13.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 13.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 13.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Passaggio 13.10

Riscrivi $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ come $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Passaggio 13.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Passaggio 13.12

Semplifica.

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Passaggio 13.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Passaggio 13.12.2

Moltiplica $- (- y e^{- y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Passaggio 13.12.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Passaggio 13.12.3

Moltiplica $- - e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Passaggio 13.12.3.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Passaggio 15

$\frac{1}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$