Calcolo Esempi

$e^{5 y} d y = e^{5 x} d x$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{5 y} d y = \int e^{5 x} d x$

Passaggio 1.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sia $u_{1} = 5 y$ . Allora $d u_{1} = 5 d y$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sia $u_{1} = 5 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Differenzia $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Passaggio 1.2.1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $y$ è $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 1.2.1.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Passaggio 1.2.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Passaggio 1.2.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int e^{5 x} d x$

Passaggio 1.2.4

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int e^{5 x} d x$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Passaggio 1.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{5 x} d x$

Passaggio 1.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sia $u_{2} = 5 x$ . Allora $d u_{2} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Sia $u_{2} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 1.3.1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 1.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Passaggio 1.3.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 1.3.4

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Passaggio 1.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Passaggio 1.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 2.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Semplifica $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{5 y} = 5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica $5 (\frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 x}$ .

$e^{5 y} = 5 (\frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Passaggio 2.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Passaggio 2.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{5 y} = 5 \frac{e^{5 x}}{5} + 5 K$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{5 y} = e^{5 x} + 5 K$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.1

Espandi $\ln (e^{5 y})$ spostando $5 y$ fuori dal logaritmo.

$5 y \ln (e) = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 2.5

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \ln (e^{5 x} + 5 K)$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Passaggio 3

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\ln (e^{5 x} + K)}{5}$