Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 7}$ ; and , $y (7) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (t + 2 e^{t - 7}) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 7} d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 7} d t$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 7} d t$

Passaggio 2.3.4

Sia $u = t - 7$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sia $u = t - 7$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $t - 7$ .

$\frac{d}{d t} [t - 7]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 7$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

Passaggio 2.3.4.1.4

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t - 7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $7$ e $y$ con $4$ in $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $7$ da $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Passaggio 4.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 49 + 2 e^{0} + K = 4$

Passaggio 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $49$ .

$\frac{49}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Passaggio 4.2.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{49}{2} + 2 + K = 4$

Passaggio 4.2.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Passaggio 4.2.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{49 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Passaggio 4.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{49 + 4}{2} + K = 4$

Passaggio 4.2.6.2

Somma $49$ e $4$ .

$\frac{53}{2} + K = 4$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{53}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 4 - \frac{53}{2}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{53}{2}$

Passaggio 4.3.3

$4$ e $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{53}{2}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 53}{2}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$K = \frac{8 - 53}{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $53$ da $8$ .

$K = \frac{- 45}{2}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{45}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{45}{2}$ a $K$ in $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{45}{2}$ a $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $2 e^{t - 7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{45}{2}$

Passaggio 5.4

$2 e^{t - 7}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 7}}{2} - \frac{45}{2}$