Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - 3 \int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Allora $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{3}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 2.3.2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - 3 \int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{3} u_{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{3} u_{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.2.1

$u_{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 3 (- \frac{u_{2}}{3}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$y + C_{1} = 3 \frac{u_{2}}{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.3

$3$ e $\frac{u_{2}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3 u_{2}}{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{3 u_{2}}{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.4.2

Dividi $u_{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{- x^{3}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = e^{- x^{3}} + K$