Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} - 7$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{t}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V - 7$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{t}$ per $y$ .

$y = V t$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V t$ rispetto a $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $t \frac{d V}{d t} + V$ a $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V - 7$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d t}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t \frac{d V}{d t} = - V - 7 - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Sottrai $V$ da $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Passaggio 5.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Passaggio 5.1.1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \frac{2 V}{t}$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - \frac{7}{t}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{7}{t}$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$

Passaggio 5.1.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t} + \frac{7}{t})$

Passaggio 5.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V + 7}{t}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{2 V + 7}$ .

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{2 V + 7} (- \frac{2 V + 7}{t})$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Passaggio 5.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2 V + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 V + 7}$ nel numeratore.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Passaggio 5.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Passaggio 5.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{t}$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{2 V + 7} d V = - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{2 V + 7} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sia $u = 2 V + 7$ . Allora $d u = 2 d V$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Sia $u = 2 V + 7$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Differenzia $2 V + 7$ .

$\frac{d}{d V} [2 V + 7]$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 V + 7$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d V} [2 V]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $2 V$ rispetto a $V$ è $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [7]$

Passaggio 5.2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [7]$

Passaggio 5.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d V} [7]$

Passaggio 5.2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.4.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $7$ rispetto a $V$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 V + 7$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 5.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) = - \ln (| t |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |)) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Passaggio 5.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 V + 7 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica $2 (- \ln (| t |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |)) + 2 C$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\ln (| 2 V + 7 |) = - 2 \ln (| t |) + 2 C$

Passaggio 5.3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |) = 2 C$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Semplifica $\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| t |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln ({| t |}^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.3.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| t |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln (t^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.3.4.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 V + 7 | t^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.3.4.1.3

Riordina i fattori in $\ln (| 2 V + 7 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$

Passaggio 5.3.5

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (t^{2} | 2 V + 7 |)} = e^{2 C}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi $\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = t^{2} | 2 V + 7 |$

Passaggio 5.3.7

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Riscrivi l'equazione come $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ .

$t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$

Passaggio 5.3.7.2

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.1

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ .

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.7.2.2.1.2

Dividi $| 2 V + 7 |$ per $1$ .

$| 2 V + 7 | = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.7.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$2 V + 7 = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Passaggio 5.3.7.4

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$

Passaggio 5.3.7.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ .

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 5.3.7.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 5.3.7.5.2.1.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Passaggio 5.3.7.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Passaggio 5.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Passaggio 5.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{t}$ a $V$ .

$\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $t$ .

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $(\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

$C$ e $\frac{1}{t^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = (\frac{C}{t^{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2.2.1.1.3

Combina.

$y = (\frac{C \cdot 1}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2.2.1.1.4

Moltiplica $C$ per $1$ .

$y = (\frac{C}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2.2.1.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 t^{2}} - \frac{7}{2}) t$

Passaggio 7.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{C}{2 t^{2}} t - \frac{7}{2} t$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.2.1

Scomponi $t$ da $2 t^{2}$ .

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Passaggio 7.2.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Passaggio 7.2.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7}{2} t$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

$t$ e $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{t \cdot 7}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.3

Sposta $7$ alla sinistra di $t$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7 t}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.4

Riordina $\frac{C}{2 t}$ e $- \frac{7 t}{2}$ .

$y = - \frac{7 t}{2} + \frac{C}{2 t}$