Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + (\sin (x)) y = e^{\cos (x)}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \sin (x) d x}$

Passaggio 1.2

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$e^{- \cos (x) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \cos (x)}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- \cos (x)}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- \cos (x)}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} ((\sin (x)) y) = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x)} e^{\cos (x)}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- \cos (x)}$ per $e^{\cos (x)}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{- \cos (x) + \cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = e^{0}$

Passaggio 2.4

Semplifica $e^{0}$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$

Passaggio 2.5

Riordina i fattori in $e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + e^{- \cos (x)} \sin (x) y = 1$ .

$e^{- \cos (x)} \frac{d y}{d x} + y e^{- \cos (x)} \sin (x) = 1$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] = 1$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \cos (x)} y] d x = \int d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- \cos (x)} y = \int d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$e^{- \cos (x)} y = x + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- \cos (x)}$ ciascun termine in $e^{- \cos (x)} y = x + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- \cos (x)}$ ciascun termine in $e^{- \cos (x)} y = x + C$ .

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- \cos (x)}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- \cos (x)} y}{e^{- \cos (x)}} = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- \cos (x)}} + \frac{C}{e^{- \cos (x)}}$