Calcolo Esempi

$x (1 + y^{2}) d x + y (1 + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x (1 + y^{2}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $1 + x^{2}$ da $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ nel numeratore.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $1 + y^{2}$ da $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $1 + y^{2}$ da $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Passaggio 3.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Passaggio 3.5

$\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$\ln (| 1 + x^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 5.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} | | 1 + x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 5.5

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (1 + y^{2}) (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 5.6

Espandi $(1 + y^{2}) (1 + x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 (1 + x^{2}) + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} (1 + x^{2}) |) = 2 C$

Passaggio 5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 5.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\ln (| 1 + 1 x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 5.7.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 5.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Passaggio 5.9

Riscrivi $\ln (| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} |$

Passaggio 5.10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Passaggio 5.10.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Passaggio 5.10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1$

Passaggio 5.10.3.2

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Passaggio 5.10.4

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} + y^{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.4.1

Moltiplica per $1$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Passaggio 5.10.4.2

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Passaggio 5.10.4.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (x^{2})$ .

$y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$

Passaggio 5.10.5

Dividi per $1 + x^{2}$ ciascun termine in $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.1

Dividi per $1 + x^{2}$ ciascun termine in $y^{2} (1 + x^{2}) = \pm e^{2 C} - 1 - x^{2}$ .

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.5.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} + \frac{- 1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.5.3.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.5.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Passaggio 5.10.7

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.7.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}{1 + x^{2}}}$ come $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 5.10.7.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 5.10.7.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.7.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 5.10.7.3.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Passaggio 5.10.7.3.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}}$

Passaggio 5.10.7.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.10.7.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.10.7.3.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ come $1 + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.7.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + x^{2}}$ come ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.10.7.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.10.7.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.7.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.7.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.7.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}}$

Passaggio 5.10.7.3.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5.10.7.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 1 - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C - x^{2}) (1 + x^{2})}}{1 + x^{2}}$