Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{x^{2} + 1}{x}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{x y^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 1}{y^{2} x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

$3$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per scrivere $\ln ({| x |}^{3})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

$\ln ({| x |}^{3})$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $\ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Riordina $\ln ({| x |}^{3})$ e $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 2 \cdot \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Semplifica $2 \cdot \ln ({| x |}^{3})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.3.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{6}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

Passaggio 3.5.4

Per scrivere $3 C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.5.5

$3 C$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

Passaggio 3.5.8

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 3.5.9

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.5.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.10.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.5.10.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.5.10.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.5.10.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.5.10.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.10.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.5.10.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.5.10.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.10.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.10.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.10.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.5.10.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 3.5.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.11.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.5.11.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 3.5.12

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.12.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

Passaggio 3.5.12.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (3 x^{2} + \ln (x^{6}) + C)}}{2}$