Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 9$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Allora $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ , quindi $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{9}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{9}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Passaggio 2.3.2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Riordina i fattori in $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.2.1

$u_{2}$ e $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.3

$9$ e $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.4

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 2.3.5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.4.2

Dividi $u_{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $2$ in $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 - 1$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$K = 1$

Passaggio 5

Sostituisci $1$ a $K$ in $y = e^{- x^{9}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$