Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + x = 8 y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $8 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + x - 8 y = 0$

Passaggio 1.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 8 y = - x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 8 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 8 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 8 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 8 x} (- 8 y) = e^{- 8 x} (- x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = e^{- 8 x} (- x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 y e^{- 8 x} = - x e^{- 8 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] = - x e^{- 8 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] d x = \int - x e^{- 8 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 8 x} y = \int - x e^{- 8 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 8 x} y = - \int x e^{- 8 x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$e^{- 8 x}$ e $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$x$ e $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$e^{- 8 x}$ e $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - - \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$ per $1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Passaggio 7.6

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 x} d x)$

Passaggio 7.7

Sia $u = - 8 x$ . Allora $d u = - 8 d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Sia $u = - 8 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1.1

Differenzia $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Passaggio 7.7.1.2

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Passaggio 7.7.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8$

Passaggio 7.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u)$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u)$

Passaggio 7.8.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u)$

Passaggio 7.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u))$

Passaggio 7.10

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 7.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.11.2

Moltiplica $8$ per $8$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

Passaggio 7.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.13.1

Riscrivi $- (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ come $- (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.13.2.1

$x$ e $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x}{8} e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2.2

$e^{- 8 x}$ e $\frac{x}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

Passaggio 7.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 8 x$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{- 8 x}}{64}) + C$

Passaggio 7.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 8 x} y = - - \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Passaggio 7.15.2

Moltiplica $- - \frac{e^{- 8 x} x}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = 1 \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Passaggio 7.15.2.2

Moltiplica $\frac{e^{- 8 x} x}{8}$ per $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Passaggio 7.15.3

Moltiplica $- - \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + 1 \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Passaggio 7.15.3.2

Moltiplica $\frac{e^{- 8 x}}{64}$ per $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Passaggio 7.15.4

Riordina i fattori in $\frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Passaggio 7.16

Riordina i termini.

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- 8 x}$ ciascun termine in $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- 8 x}$ ciascun termine in $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ .

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $\frac{1}{8} x$ per $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- 8 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Dividi $\frac{1}{64}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.2

Somma $\frac{1}{8} x$ e $\frac{1}{64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Riordina $\frac{1}{8}$ e $x$ .

$y = x \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.2.2

Per scrivere $x \frac{1}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{64}{64}$ .

$y = x \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.2.3

$x \frac{1}{8}$ e $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

$x$ e $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $8$ da $64$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 (8)) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x \cdot 8 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.3.3

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.4

Per scrivere $\frac{8 x + 1}{64}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.5

Per scrivere $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Passaggio 8.3.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $64 e^{- 8 x}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Moltiplica $\frac{8 x + 1}{64}$ per $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Passaggio 8.3.6.2

Moltiplica $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ per $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{e^{- 8 x} \cdot 64}$

Passaggio 8.3.6.3

Riordina i fattori di $e^{- 8 x} \cdot 64$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + 1 e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.8.2

Moltiplica $e^{- 8 x}$ per $1$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Passaggio 8.3.8.3

Sposta $64$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + 64 C}{64 e^{- 8 x}}$