Calcolo Esempi

$2 y t^{3} d y + 3 y^{2} t^{2} d t = 0$

Passaggio 1

Sottrai $3 y^{2} t^{2} d t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y t^{3} d y = - 3 y^{2} t^{2} d t$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ .

$\frac{1}{t^{3} y^{2}} (2 y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{t^{3} y^{2}} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.2

$2$ e $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ .

$\frac{2}{t^{3} y^{2}} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y t^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y t^{3}$ da $t^{3} y^{2}$ .

$\frac{2}{y t^{3} (y)} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y t^{3} y} (y t^{3}) d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{t^{3} y^{2}} (- 3 y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{t^{3} y^{2}} (y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.5

$- 3$ e $\frac{1}{t^{3} y^{2}}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{t^{3} y^{2}} (y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y^{2} t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y^{2} t^{2}$ da $t^{3} y^{2}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y^{2} t^{2} (t)} (y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y^{2} t^{2} t} (y^{2} t^{2}) d t$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{t} d t$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{t} d t$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{t} d t$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{t} d t$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{t} d t$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{t} d t$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{t} d t$

Passaggio 4.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{t} d t)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| t |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| t |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| t |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| t |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| t |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| t |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica $3 \ln (| t |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| t |}^{3}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} {| t |}^{3}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y^{2} {| t |}^{3})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (y^{2} {| t |}^{3}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} {| t |}^{3}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ .

$y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per ${| t |}^{3}$ ciascun termine in $y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per ${| t |}^{3}$ ciascun termine in $y^{2} {| t |}^{3} = e^{C}$ .

$\frac{y^{2} {| t |}^{3}}{{| t |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${| t |}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} {| t |}^{3}}{{| t |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\frac{e^{C}}{{| t |}^{3}}$ come ${(\frac{1}{| t |})}^{2} \frac{e^{C}}{| t |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{3}}}$

Passaggio 5.5.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta ${| t |}^{2}$ su ${| t |}^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{2} | t |}}$

Passaggio 5.5.4.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} e^{C}}{{| t |}^{2} | t |}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| t |})}^{2} \frac{e^{C}}{| t |}}$

Passaggio 5.5.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{| t |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| t |}}$

Passaggio 5.5.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{e^{C}}{| t |}}$ come $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| t |}}$ .

$y = \pm \frac{1}{| t |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| t |}}$

Passaggio 5.5.4.4

Combina.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$

Passaggio 5.5.4.5

Moltiplica $\sqrt{e^{C}}$ per $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$

Passaggio 5.5.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$ per $\frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}} \cdot \frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$

Passaggio 5.5.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| t | \sqrt{| t |}}$ per $\frac{\sqrt{| t |}}{\sqrt{| t |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | \sqrt{| t |} \sqrt{| t |}}$

Passaggio 5.5.4.7.2

Sposta $\sqrt{| t |}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | (\sqrt{| t |} \sqrt{| t |})}$

Passaggio 5.5.4.7.3

Eleva $\sqrt{| t |}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | ({\sqrt{| t |}}^{1} \sqrt{| t |})}$

Passaggio 5.5.4.7.4

Eleva $\sqrt{| t |}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | ({\sqrt{| t |}}^{1} {\sqrt{| t |}}^{1})}$

Passaggio 5.5.4.7.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {\sqrt{| t |}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.4.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {\sqrt{| t |}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.7.7

Riscrivi ${\sqrt{| t |}}^{2}$ come $| t |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{| t |}$ come ${| t |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {({| t |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.7.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.4.7.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.7.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.7.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | {| t |}^{1}}$

Passaggio 5.5.4.7.7.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| t |}}{| t | | t |}$

Passaggio 5.5.4.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t | | t |}$

Passaggio 5.5.4.9

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t \cdot t |}$

Passaggio 5.5.4.10

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.4.10.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{| t^{2} |}$

Passaggio 5.5.4.10.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | t |}}{t^{2}}$

Passaggio 5.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.