Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{4}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{4}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{4}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot x^{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{4}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{4}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x^{4}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1} x^{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1 + 4}$

Passaggio 3.3.2

Somma $1$ e $4$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{5}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{5}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{5} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x y = \int x^{5} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x y = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{1}{6} x^{6} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = \frac{1}{6} x^{6} + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.1.2.5

Dividi $\frac{1}{6} x^{5}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{1}{6}$ e $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$