Calcolo Esempi

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Passaggio 1

Sia $v = e^{4 y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{4 y}$ con $v$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{4 y}$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori di $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{4 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Passaggio 5

Sottrai $3 v$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Passaggio 6

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 3$ .

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Passaggio 6.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 3 d x}$

Passaggio 6.2

Applica la regola costante.

$e^{- 3 x + C}$

Passaggio 6.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 3 x}$

Passaggio 7

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Passaggio 7.4

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $e^{3 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.4.1

Sposta $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Passaggio 7.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Passaggio 7.4.3

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Passaggio 7.5

Semplifica $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Passaggio 7.6

Riordina i fattori in $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Passaggio 8

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Passaggio 9

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Passaggio 10

Integra il lato sinistro.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Passaggio 11

Integra il lato destro.

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Passaggio 11.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 11.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2

Semplifica.

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Passaggio 11.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Passaggio 11.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Passaggio 12

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ e semplifica.

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Passaggio 12.1

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 12.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 12.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 14

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 14.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Passaggio 14.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 14.2.1

Espandi $\ln (e^{4 y})$ spostando $4 y$ fuori dal logaritmo.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Passaggio 14.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Passaggio 14.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ e semplifica.

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Passaggio 14.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 14.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 14.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Passaggio 14.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$