Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Allora $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.3.2.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.2.1.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.2.1.4.4.1

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Passaggio 2.3.2.1.4.4.2

Riordina i fattori di $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Passaggio 2.3.3.2

$u_{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Passaggio 2.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Passaggio 2.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Passaggio 2.3.7.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Passaggio 2.3.8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{3}$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ come $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$