Calcolo Esempi

$69 x d y + 420 y d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $420 y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$69 x d y = - 420 y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Passaggio 3.2

$69$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

Passaggio 3.5

$- 420$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $69$ è costante rispetto a $y$ , sposta $69$ fuori dall'integrale.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $420$ è costante rispetto a $x$ , sposta $420$ fuori dall'integrale.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $420$ per $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $69 \ln (| y |)$ spostando $69$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica $420 \ln (| x |)$ spostando $420$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{420}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

Passaggio 5.2.1.3

Riordina i fattori in $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ .

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $x^{420}$ ciascun termine in $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $x^{420}$ ciascun termine in $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{420}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi ${| y |}^{69}$ per $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ come ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{69}$ su $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

Passaggio 5.5.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta ${(x^{6})}^{69}$ su $x^{420}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

Passaggio 5.5.4.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ .

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Passaggio 5.5.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Passaggio 5.5.4.3

Riscrivi $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ come $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ .

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

Passaggio 5.5.4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.4.1

Combina.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Passaggio 5.5.4.4.2

Moltiplica $\sqrt[69]{e^{C}}$ per $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Passaggio 5.5.4.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{2})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

Passaggio 5.5.4.5.2

Riscrivi $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ come $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

Passaggio 5.5.4.5.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

Passaggio 5.5.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Passaggio 5.5.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Passaggio 5.5.4.7.2

Sposta $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Passaggio 5.5.4.7.3

Eleva $\sqrt[23]{x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Passaggio 5.5.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

Passaggio 5.5.4.7.5

Somma $1$ e $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

Passaggio 5.5.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ come $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[23]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{23}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.3

$\frac{2}{23}$ e $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.4

Moltiplica $2$ per $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.5

Elimina il fattore comune di $46$ e $23$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.6.5.1

Scomponi $23$ da $46$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.7.6.5.2.1

Scomponi $23$ da $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

Passaggio 5.5.4.7.6.5.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.8

Moltiplica $x^{6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.8.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

Passaggio 5.5.4.8.2

Somma $6$ e $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.9.1

Riscrivi ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ come $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{22}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.9.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.2.2

Moltiplica $2$ per $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.3

Metti in evidenza $x^{23}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.4

Estrai i termini dal radicale.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.9.5.1

Riscrivi l'espressone usando l'indice minimo comune di $69$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.9.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[23]{x^{21}}$ come $x^{\frac{21}{23}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.5.1.2

Riscrivi $x^{\frac{21}{23}}$ come $x^{\frac{63}{69}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.5.1.3

Riscrivi $x^{\frac{63}{69}}$ come $\sqrt[69]{x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.9.5.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.10

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.10.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.10.1.1

Scomponi $x$ da $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Passaggio 5.5.4.10.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.10.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{8}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Passaggio 5.5.4.10.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Passaggio 5.5.4.10.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

Passaggio 5.5.4.10.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Passaggio 5.5.5

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$