Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{(1 + x^{2}) y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $(1 + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Riordina $1$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi $x^{2}$ per $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 2.3.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Passaggio 2.3.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Passaggio 2.3.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.6.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\arctan (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x - \arctan (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x - \arctan (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (x - \arctan (x) + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 x + 2 (- \arctan (x)) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = 2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2 x - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 \arctan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- \arctan (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $2$ da $2 (x - \arctan (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$