Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{3}{x^{2}} y^{4}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.2.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{3}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.4.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.11

$\frac{1}{3}$ e $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.12

Sposta $v^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.13

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.14

$\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.15

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 4.16

Moltiplica $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.17

Moltiplica $v^{\frac{2}{3}}$ per $v^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.1

Sposta $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 4.17.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 4.17.4

Somma $2$ e $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{3}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{3}{x^{2}} y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica per $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ per $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.2

Scomponi $3 v^{\frac{4}{3}}$ da $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4

Moltiplica $v^{- \frac{1}{3}}$ per $v^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.4.1

Sposta $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.5

Semplifica $- \frac{2}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.6

$v$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.7

Sposta $2$ alla sinistra di $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 \cdot v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} \cdot - 3 = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.9

Moltiplica $- \frac{2 v}{x} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.9.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 \frac{2 v}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.9.2

$3$ e $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (2 v)}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.9.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - 3 \frac{3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Moltiplica $- 3 \frac{3}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

$- 3$ e $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{- 3 \cdot 3}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = \frac{- 9}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.5.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.5.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.5.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.6

Moltiplica $v^{- \frac{4}{3}}$ per $v^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.6.1

Sposta $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Passaggio 6.1.1.3.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.6.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{\frac{0}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.6.5

Dividi $0$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}} v^{0}$

Passaggio 6.1.1.3.7

Semplifica $- \frac{9}{x^{2}} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6 v}{x} = - \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $v$ da $\frac{6 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{6}{x} = - \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 6.1.3

Riordina $v$ e $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v = - \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{6}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{6}{x} d x}$

Passaggio 6.2.2

Integra $\frac{6}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$e^{6 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{6 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica.

$e^{6 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 6.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{6 \ln (x)}$

Passaggio 6.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{6})}$

Passaggio 6.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{6}$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{6}$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{6} (\frac{6}{x} v) = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

$\frac{6}{x}$ e $v$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{6} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{5} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Passaggio 6.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{5} \frac{6 v}{x} = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Passaggio 6.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + x^{5} (6 v) = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{6} (- \frac{9}{x^{2}})$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - x^{6} \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{6}$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{2} (- x^{4}) \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = x^{2} (- x^{4}) \frac{9}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - x^{4} \cdot 9$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$x^{6} \frac{d v}{d x} + 6 x^{5} v = - 9 x^{4}$

Passaggio 6.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{6} v] = - 9 x^{4}$

Passaggio 6.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{6} v] d x = \int - 9 x^{4} d x$

Passaggio 6.6

Integra il lato sinistro.

$x^{6} v = \int - 9 x^{4} d x$

Passaggio 6.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 9$ fuori dall'integrale.

$x^{6} v = - 9 \int x^{4} d x$

Passaggio 6.7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{6} v = - 9 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Passaggio 6.7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.1

Riscrivi $- 9 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ come $- 9 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x^{6} v = - 9 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Passaggio 6.7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.2.1

$- 9$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{6} v = \frac{- 9}{5} x^{5} + C$

Passaggio 6.7.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$

Passaggio 6.8

Dividi per $x^{6}$ ciascun termine in $x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Dividi per $x^{6}$ ciascun termine in $x^{6} v = - \frac{9}{5} x^{5} + C$ .

$\frac{x^{6} v}{x^{6}} = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{6} v}{x^{6}} = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- \frac{9}{5} x^{5}}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.1.1

Scomponi $x^{5}$ da $- \frac{9}{5} x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{6}} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.1.2.1

Scomponi $x^{5}$ da $x^{6}$ .

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{5} x} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x^{5} (- \frac{9}{5})}{x^{5} x} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{- \frac{9}{5}}{x} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = - \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{9}{5}$ .

$v = - \frac{9}{x \cdot 5} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 6.8.3.1.4

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$v = - \frac{9}{5 x} + \frac{C}{x^{6}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{- 3}$ a $v$ .

$y^{- 3} = - \frac{9}{5 x} + \frac{C}{x^{6}}$