Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

Passaggio 1

Somma $2 x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 x d x}$

Passaggio 2.2

Integra $2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int x d x}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1 x^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Sia $u = x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 7.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Passaggio 7.2.2

$\frac{u}{2}$ e $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Passaggio 7.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Passaggio 7.4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Passaggio 7.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 7.8.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 7.8.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Passaggio 7.9

Riordina i termini.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{x^{2}}$ ciascun termine in $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $\frac{1}{2} x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Dividi $- \frac{1}{2}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $\frac{1}{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Riordina $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.2

Per scrivere $x^{2} \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.3

$x^{2} \frac{1}{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.3

Riscrivi $x^{2} - 1$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.4

Per scrivere $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.5

Per scrivere $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.3.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 e^{x^{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Moltiplica $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ per $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.3.6.2

Moltiplica $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

Passaggio 8.3.6.3

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} \cdot 2$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.4

Riscrivi $- 1 e^{x^{2}}$ come $- e^{x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Passaggio 8.3.8.5

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$