Calcolo Esempi

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x (1 + x^{2}) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riordina $y$ e $1$ .

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.1.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.1.6

Somma $1$ e $2$ .

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.1.7

Riordina $y$ e $y^{3}$ .

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$