Calcolo Esempi

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Allora $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , quindi $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \csc (θ)$ e $g (θ) = 7 θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Passaggio 2.3.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $7 θ$ rispetto a $θ$ è $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.4.1

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Passaggio 2.3.1.1.3.4.2

Riordina i fattori di $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

$u_{2}$ e $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ come $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $θ$ con $\frac{π}{4}$ e $r$ con $3$ in $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

$7$ e $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.5.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.5.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

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Passaggio 4.2.1.5.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.2.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.7.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{14}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.8.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Passaggio 4.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{1}{7}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Passaggio 4.3.3

$3$ e $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $3$ per $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $21$ e $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{22}{7}$ a $K$ in $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{22}{7}$ a $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Passaggio 5.2

$\csc^{2} (7 θ)$ e $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$