Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{2}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{2}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{2}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Passaggio 6

Sostituisci $2 v v'$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{2}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Semplifica $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 7.1.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 7.1.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

Passaggio 7.1.1.1.2

Semplifica.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

Passaggio 7.1.1.2

Sottrai $x v^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

Passaggio 7.1.1.3

Dividi per $2 v$ ciascun termine in $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Dividi per $2 v$ ciascun termine in $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $6 x v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.2.2

Dividi $3 x$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ e $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.3.1

Scomponi $v$ da $- x v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1.3.2.1

Scomponi $v$ da $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

Passaggio 7.1.1.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

Passaggio 7.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Scomponi $x$ da $3 x - \frac{x v}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

Passaggio 7.1.2.1.2

Scomponi $x$ da $- \frac{x v}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

Passaggio 7.1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

Passaggio 7.1.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

Passaggio 7.1.2.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

Passaggio 7.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

Passaggio 7.1.2.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

Passaggio 7.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

$x$ e $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Passaggio 7.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Passaggio 7.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

Passaggio 7.1.4.3

Elimina il fattore comune di $6 - v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.3.1

Scomponi $6 - v$ da $x (6 - v)$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Passaggio 7.1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Passaggio 7.1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

Passaggio 7.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

Passaggio 7.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

Passaggio 7.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

Passaggio 7.2.2.2

Sia $u_{2} = 6 - v$ . Allora $d u_{2} = - d v$ , quindi $- d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Sia $u_{2} = 6 - v$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Passaggio 7.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Passaggio 7.2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Passaggio 7.2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

Passaggio 7.2.2.7

Semplifica.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 7.2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 7.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 7.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.3

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 6 - v |)$ per $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.3.1.3

Combina.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

Passaggio 7.3.1.3.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

Passaggio 7.3.2

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Passaggio 7.3.3

Riscrivi $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

Passaggio 7.3.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ .

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Passaggio 7.3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Passaggio 7.3.4.3

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

Passaggio 7.3.4.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.3.4.4.2.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.4.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.3.4.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ come $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 7.3.4.4.3.1.3

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

Passaggio 7.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

Passaggio 7.4.2

Riscrivi $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ come $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

Passaggio 7.4.3

Riordina $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ e $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Passaggio 7.4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{\frac{1}{2}}$ a $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$