Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sin (2 x + π)$ , $y (0) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \sin (2 x + π) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \sin (2 x + π) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \sin (2 x + π) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 2 x + π$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 2 x + π$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $2 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + π]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $2$ in $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ .

$2 = - \frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0 + π) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (0 + π) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $π$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + K = 2$

Passaggio 4.2.1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$K = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$K = \frac{4 - 1}{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$K = \frac{3}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{3}{2}$ a $K$ in $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{3}{2}$ a $K$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + \frac{3}{2}$

Passaggio 5.2

$\cos (2 x + π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + \frac{3}{2}$