Calcolo Esempi

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} y + 8 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{3} y$ rispetto a $y$ è $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $8 y$ rispetto a $y$ è $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x^{3} + 8$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x^{3} + 8 = 0$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x^{3} + 8 = 0$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x^{3} + 8$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{3} y + 8 y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{3} y + 8 y$ a $M$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $- (- x^{3} - 8)$ da $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4

Riscrivi $- x^{3} - 8$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Riscrivi $- x^{3}$ come ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = - x$ e $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.4.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4.4.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4.4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4.4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.2.4.4.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $y$ da $x^{3} y + 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Scomponi $y$ da $x^{3} y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Scomponi $y$ da $8 y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Scomponi $y$ da $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

Passaggio 4.3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Passaggio 4.3.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

Passaggio 4.3.3.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $- x - 2$ e $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

Passaggio 4.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

Passaggio 4.3.5.4

Riscrivi $- (x + 2)$ come $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Passaggio 4.3.5.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Passaggio 4.3.5.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci $x^{3} y + 8 y$ a $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $- \ln (| y |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x^{3} y + 8 y$ per $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x^{3} y + 8 y$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $y$ da $x^{3} y + 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Scomponi $y$ da $x^{3} y$ .

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3.1.2

Scomponi $y$ da $8 y$ .

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3.1.3

Scomponi $y$ da $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.3.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Dividi $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ per $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.5

Espandi $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.3.1

Sposta $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.6.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.7

Combina i termini opposti in $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Somma $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Somma $x^{3} + 4 x$ e $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.7.3

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.7.4

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Passaggio 6.8

Moltiplica $y + 1$ per $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 6.9

Moltiplica $y + 1$ per $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = x^{3} + 8$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

Passaggio 8.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

Passaggio 8.4

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 11.3

Poiché $\frac{1}{4} x^{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 11.4

Poiché $8 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 11.6

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 11.6.2

Somma $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Passaggio 12

Trova l'antiderivata di $\frac{y + 1}{y}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Passaggio 12.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Passaggio 12.3

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

Passaggio 12.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 12.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Elimina il fattore comune.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 12.5.2

Riscrivi l'espressione.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 12.6

Applica la regola costante.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 12.7

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

Passaggio 12.8

Semplifica.

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

Passaggio 14

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$