Calcolo Esempi

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Dividi $x^{2} + 1$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 3.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Passaggio 3.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Passaggio 3.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Passaggio 3.2.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Passaggio 3.2.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 3.6.2

Semplifica.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Passaggio 4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$