Calcolo Esempi

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sottrai $5 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

Passaggio 2.1.2

Dividi per $10 x y$ ciascun termine in $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi per $10 x y$ ciascun termine in $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 5 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.2.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 3.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\ln (| x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica $\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (| x |)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

Passaggio 4.3.1.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 4.3.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 4.3.1.3

Riordina i fattori in $\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

Passaggio 4.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

Passaggio 4.6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.6.1

Riscrivi l'equazione come ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ .

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

Passaggio 4.6.2

Dividi per ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Dividi per ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ .

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.6.2.2.2

Dividi $| y |$ per $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.6.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$