Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $2 y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $2 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2 \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

Passaggio 2.2

Integra $2 \tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.6

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.9

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.10

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.11

Combina.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.12.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.12.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.2.13

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Passaggio 3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Passaggio 3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.2

Frazioni separate.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.4

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.5

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.6

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.7

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.8

$\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.9

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.10

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.11

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.12

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.13.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.13.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.14

Moltiplica $\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.14.1

$\tan (x)$ e $\frac{2 y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.14.2

$\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ e $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.15

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.16

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.17

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.18.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.18.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.19

Dividi $(2 y) \sec (x)$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.20

Moltiplica $2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.20.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.20.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.20.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.7.20.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 3.8

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Passaggio 3.9

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 3.10

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Passaggio 3.11

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 3.12

Riordina i fattori in $\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\sec^{2} (x)$ ciascun termine in $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $\sec^{2} (x)$ ciascun termine in $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ .

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\sec (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 8.3.1.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$