Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (y)$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $\cos^{2} (y)$ da $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ a $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché la derivata di $\tan (y)$ è $\sec^{2} (y)$ , l'integrale di $\sec^{2} (y)$ è $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

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Passaggio 3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

Passaggio 3.1.2

Riordina $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $K$ .

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$