Calcolo Esempi

$x^{2} d y + (y - 1) d x = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(y - 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} d y = - (y - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} (y - 1)} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (- (y - 1)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2} (y - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y - 1)} (y - 1) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y - 1$ da $x^{2} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) x^{2}} (y - 1) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u = y - 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riscrivi $- (- x^{- 1} + C_{2})$ come $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{\frac{1}{x} + C}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\ln (| y - 1 |) = \frac{1}{x} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} + C} = | y - 1 |$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$ .

$| y - 1 | = e^{\frac{1}{x} + C}$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{\frac{1}{x} + C}$

Passaggio 5.3.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\frac{1}{x} + C} + 1$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $e^{\frac{1}{x} + C}$ come $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{x}} e^{C} + 1$

Passaggio 6.2

Riordina $e^{\frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{x}} + 1$

Passaggio 6.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{1}{x}} + 1$