Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $t y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $y - t y$ .

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Passaggio 1.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $y$ da $- t y$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

Passaggio 1.2.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- t)$ .

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Passaggio 3.3.2

$t^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ come $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $1$ e $y$ con $3$ in $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ .

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

Passaggio 6.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

Passaggio 6.2.4

Somma $- 1$ e $2$ .

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

Passaggio 6.3

Dividi per $e^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ e semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Dividi per $e^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ .

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.3.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ a $C$ in $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ a $C$ .

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Passaggio 7.2

$\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.3

Scomponi $e^{\frac{1}{2}}$ da $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Passaggio 7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

Passaggio 7.4.4

Dividi $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$