Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Passaggio 1.4

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Passaggio 1.5

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Passaggio 1.6

Sposta $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Passaggio 5.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Passaggio 5.5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 5.6

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 5.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 5.8

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 5.9

Semplifica.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 5.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Passaggio 5.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 5.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 5.11.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Passaggio 5.11.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 5.11.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 5.12

Riordina i termini.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 6

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.4

$\frac{1}{4}$ e $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.6

Combina.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 6.3.1.7

Moltiplica $\sin (2 x)$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$