Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y)$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Passaggio 1.2.2

$6$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y$ da $\frac{1}{x + 6} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{x + 6}$

Passaggio 1.2.4

$6$ e $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x + 6}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6}{x + 6} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x + 6} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x + 6$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x + 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x + 6 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 6 \ln (| x + 6 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |) = C$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Semplifica $- 6 \ln (| x + 6 |)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 6 |}^{6}) = C$

Passaggio 3.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x + 6 |}^{6}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 6)}^{6}) = C$

Passaggio 3.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per ${(x + 6)}^{6}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 6)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Semplifica $e^{C} {(x + 6)}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Usa il teorema binomiale.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 6 + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 36 + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.3

Moltiplica $36$ per $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.4

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 216 + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.5

Moltiplica $216$ per $20$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.6

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1296 + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.7

Moltiplica $1296$ per $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.8

Moltiplica $6$ per $6^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1.8.1

Sposta $6^{5}$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6 x + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.8.2

Moltiplica $6^{5}$ per $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.2.1.8.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6^{1} x + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5 + 1} x + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.8.3

Somma $5$ e $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{6} x + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.9

Eleva $6$ alla potenza di $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 6^{6})$

Passaggio 3.5.4.1.2.1.10

Eleva $6$ alla potenza di $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 46656)$

Passaggio 3.5.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} x^{6} + e^{C} (36 x^{5}) + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Passaggio 3.5.4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Passaggio 3.5.4.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Passaggio 3.5.4.1.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Passaggio 3.5.4.1.3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Passaggio 3.5.4.1.3.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + e^{C} \cdot 46656$

Passaggio 3.5.4.1.3.6

Sposta $46656$ alla sinistra di $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 \cdot e^{C}$

Passaggio 3.5.4.1.4

Riordina i fattori in $e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 e^{C}$ .

$| y | = x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C})$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm (x^{6} C + 36 x^{5} C + 540 x^{4} C + 4320 x^{3} C + 19440 x^{2} C + 46656 x C + C)$