Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Riordina $e^{x}$ e $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.4

Riordina $e^{x}$ e $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.7

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ per $1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.8

Risolvendo $\int e^{x} \sin (x) d x$ , troviamo che $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.9

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.3.10

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

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Passaggio 2.3.11.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.11.1.1

Somma $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ e $x \sin (x)$ .

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Passaggio 2.3.11.1.1.1

Sposta $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.11.1.1.2

Per scrivere $x \sin (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.11.1.1.3

$x \sin (x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.11.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.11.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x \sin (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.11.2

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.11.3.1

Per scrivere $\cos (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.3.2

$\cos (x)$ e $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.4

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$