Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + 6 y + \ln (x) = 0$

Passaggio 1

Sottrai $\ln (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + 6 y = - \ln (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 6 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{6 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{6 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + e^{6 x} (6 y) = e^{6 x} (- \ln (x))$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = e^{6 x} (- \ln (x))$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 e^{6 x} y = - e^{6 x} \ln (x)$ .

$e^{6 x} \frac{d y}{d x} + 6 y e^{6 x} = - e^{6 x} \ln (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x} y] = - e^{6 x} \ln (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{6 x} y] d x = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{6 x} y = \int - e^{6 x} \ln (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{6 x} y = - \int e^{6 x} \ln (x) d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\ln (x) \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$\ln (x)$ e $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $\frac{e^{6 x}}{6}$ per $\frac{1}{x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \int \frac{e^{6 x}}{6 x} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int \frac{e^{6 x}}{x} d x))$

Passaggio 7.5

Sia $u = 6 x$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sia $u = 6 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 7.5.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{\frac{u}{6}} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{6}{u} \frac{1}{6} d u)$

Passaggio 7.6.2

$e^{u}$ e $\frac{6}{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u} \cdot 6}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Passaggio 7.6.3

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 \cdot e^{u}}{u} \cdot \frac{1}{6} d u)$

Passaggio 7.6.4

Moltiplica $\frac{6 e^{u}}{u}$ per $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{u \cdot 6} d u)$

Passaggio 7.6.5

Sposta $6$ alla sinistra di $u$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 \cdot u} d u)$

Passaggio 7.6.6

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.6.1

Elimina il fattore comune.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{6 e^{u}}{6 u} d u)$

Passaggio 7.6.6.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Passaggio 7.7

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ è un integrale speciale. L'integrale è la funzione integrale esponenziale.

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$

Passaggio 7.8

Riscrivi $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (E i (u) + C))$ come $- (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{1}{6} \ln (x) e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{6} (\ln (x) e^{6 x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{6}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x)}{6} e^{6 x} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

Passaggio 8.1.1.2

$\frac{\ln (x)}{6}$ e $e^{6 x}$ .

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i (u)}{6}) + C$

$e^{6 x} y = - (\frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - \frac{E i u}{6}) + C$

Passaggio 8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} - - \frac{E i u}{6} + C$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $- - \frac{E i u}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + 1 \frac{E i u}{6} + C$

Passaggio 8.1.3.2

Moltiplica $\frac{E i u}{6}$ per $1$ .

$e^{6 x} y = - \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Passaggio 8.1.4

Riordina i fattori in $- \frac{\ln (x) e^{6 x}}{6} + \frac{E i u}{6}$ .

$e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{6 x}$ ciascun termine in $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{6 x}$ ciascun termine in $e^{6 x} y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} + \frac{E i u}{6} + C$ .

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{6 x} y}{e^{6 x}} = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{6 x} \ln (x)}{6}$ nel numeratore.

$y = \frac{- e^{6 x} \ln (x)}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2.2

Scomponi $e^{6 x}$ da $- e^{6 x} \ln (x)$ .

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{6 x} (- 1 \ln (x))}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 1 \ln (x)}{6} + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Riscrivi $\frac{- 1 \ln (x)}{6}$ come $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ .

$y = \frac{- 1}{6} \ln (x) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Semplifica $\frac{- 1}{6} \ln (x)$ spostando $- \frac{- 1}{6}$ all'interno del logaritmo.

$y = - \ln (x^{- \frac{- 1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \ln (x^{- - \frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.6

Moltiplica $- - \frac{1}{6}$ .

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Passaggio 8.2.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \ln (x^{1 (\frac{1}{6})}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{\frac{E i u}{6}}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6} \cdot \frac{1}{e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.8

Combina.

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u \cdot 1}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$

Passaggio 8.2.3.1.9

Moltiplica $E$ per $1$ .

$y = - \ln (x^{\frac{1}{6}}) + \frac{E i u}{6 e^{6 x}} + \frac{C}{e^{6 x}}$