Calcolo Esempi

$5 y \frac{d y}{d x} = 7 x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$5 y d y = 7 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 5 y d y = \int 7 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int y d y = \int 7 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $5 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$5 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.3.2

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $7 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$7$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{5}{2} y^{2} = \frac{7}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2}) = \frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{5} (\frac{5}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{5}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 y^{2}}{2} = \frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Combina.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 y^{2})}{5 \cdot 2} = \frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.4.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{5} (\frac{7}{3} x^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{7}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{5} (\frac{7 x^{3}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{7 x^{3}}{3} + \frac{2}{5} K$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Combina.

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{5 \cdot 3} + \frac{2}{5} K$

Passaggio 3.2.2.1.1.4

$\frac{2}{5}$ e $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (7 x^{3})}{5 \cdot 3} + \frac{2 K}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{5 \cdot 3} + \frac{2 K}{5}$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y^{2} = \frac{14 x^{3}}{15} + \frac{2 K}{5}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{15} + \frac{2 K}{5}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{15} + \frac{2 K}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per scrivere $\frac{2 K}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{15} + \frac{2 K}{5} \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.4.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $15$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $\frac{2 K}{5}$ per $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{15} + \frac{2 K \cdot 3}{5 \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3}}{15} + \frac{2 K \cdot 3}{15}}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{14 x^{3} + 2 K \cdot 3}{15}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $2$ da $14 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $14 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{15}}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{15}}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (7 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + K \cdot 3)}{15}}$

Passaggio 3.4.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{15}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (7 x^{3} + 3 K)}{15}}$ come $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{15}}$ per $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.7.2

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Passaggio 3.4.7.3

Eleva $\sqrt{15}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Passaggio 3.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Passaggio 3.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{15}}^{2}$ come $15$ .

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Passaggio 3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{15}$ come $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Passaggio 3.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K)} \sqrt{15}}{15}$

Passaggio 3.4.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (7 x^{3} + 3 K) \cdot 15}}{15}$

Passaggio 3.4.8.2

Moltiplica $15$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + 3 K)}}{15}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{30 (7 x^{3} + K)}}{15}$