Calcolo Esempi

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- (2 x y + x)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.4

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 2.7

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 2 x = 0$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 2 x = 0$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $- 2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- (2 x y + x)$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- (2 x y + x)$ a $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $0$ e $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x$ da $2 x y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $x$ da $x (2 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

Passaggio 5.3.5

Sostituisci $- (2 x y + x)$ a $M$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Passaggio 6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

Passaggio 6.4

Sia $u = 2 y + 1$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sia $u = 2 y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Differenzia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Passaggio 6.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 6.4.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 6.4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 6.4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 6.4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 6.4.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 6.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 6.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 6.9

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Passaggio 6.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

Passaggio 6.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1

Semplifica $- \ln (| 2 y + 1 |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.11.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

Passaggio 6.11.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{2 y + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- (2 x y + x)$ per $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 2 x y - x$ per $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.5

Scomponi $x$ da $- 2 x y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $x$ da $- 2 x y$ .

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $x$ da $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $- 2 y - 1$ e $2 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.6.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 y) - 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.6.4

Riscrivi $- (2 y + 1)$ come $- 1 (2 y + 1)$ .

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.6.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Passaggio 7.6.6

Dividi $x \cdot (- 1)$ per $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

Passaggio 7.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

Passaggio 7.8

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- x d x + y d y = 0$

Passaggio 7.9

Moltiplica $y$ per $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

Passaggio 7.10

$y$ e $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = - x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = - \int x d x$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 9.3

Riscrivi $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Passaggio 12.3

Poiché $- \frac{1}{2} x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Passaggio 12.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{y}{2 y + 1}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Passaggio 13.3

Dividi $y$ per $2 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 13.3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 13.3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

Passaggio 13.3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

Passaggio 13.3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Passaggio 13.3.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Passaggio 13.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Passaggio 13.5

Applica la regola costante.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Passaggio 13.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Passaggio 13.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

Passaggio 13.8

Rimuovi le parentesi.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

Passaggio 13.9

Sia $u = 2 y + 1$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Sia $u = 2 y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1.1

Differenzia $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Passaggio 13.9.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 13.9.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 13.9.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 13.9.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 13.9.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 13.9.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 13.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 13.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 13.10.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Passaggio 13.10.3

Moltiplica $2$ per $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 13.11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 13.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 13.12.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 13.13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 13.14

Semplifica.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Passaggio 13.15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{1}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

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Passaggio 15.1.3.1

Riordina $\ln (| 2 y + 1 |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

Passaggio 15.1.3.2

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 15.3

$- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Passaggio 15.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.5.1

Moltiplica $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

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Passaggio 15.5.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

Passaggio 15.5.1.2

Semplifica $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

Passaggio 15.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Passaggio 15.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 15.5.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 15.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

Passaggio 15.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$