Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \ln (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x \ln (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x \ln (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int x \ln (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$x^{2} y = \ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} y = \ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x)$

Passaggio 7.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Passaggio 7.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x)$

Passaggio 7.4.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x)$

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Riscrivi $\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (x)$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C$

Passaggio 7.6.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Passaggio 7.6.3

$x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Passaggio 7.6.4

Riordina i termini.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$

Passaggio 8.1.2

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{4} + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2}) - \frac{x^{2}}{4} + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{1}{2} \cdot (\ln (x) x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.1.2

Dividi $\frac{1}{2} \cdot (\ln (x))$ per $1$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x)) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} (\ln (x))$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- \frac{x^{2}}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{4}$ nel numeratore.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x^{2} \cdot - 1}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{4} + \frac{C}{x^{2}}$