Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{2}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6.2.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.13

$\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.14

Sposta $v^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Passaggio 4.15

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Passaggio 4.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Passaggio 4.17

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Passaggio 4.18

Moltiplica $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Passaggio 4.19

Eleva $v$ alla potenza di $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.20

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 4.23

Somma $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica per $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ per $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Scomponi $2 v^{\frac{3}{2}}$ da $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.4

Moltiplica $v^{- \frac{1}{2}}$ per $v^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.4.1

Sposta $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.4.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.4.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.5

Semplifica $- v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 2 = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.2.1.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.3.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.3.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.4

Moltiplica $v^{- \frac{3}{2}}$ per $v^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.4.1

Sposta $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 6.1.3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Passaggio 6.1.3.4.4

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Passaggio 6.1.3.4.5

Dividi $0$ per $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{0}$

Passaggio 6.1.3.5

Semplifica $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x$

Passaggio 6.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d x}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C}$

Passaggio 6.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x}$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (- 2 x)$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (- 2 x)$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$

Passaggio 6.3.4

Riordina i fattori in $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = - 2 x e^{2 x}$

Passaggio 6.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = - 2 x e^{2 x}$

Passaggio 6.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int - 2 x e^{2 x} d x$

Passaggio 6.6

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x} v = \int - 2 x e^{2 x} d x$

Passaggio 6.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = - 2 \int x e^{2 x} d x$

Passaggio 6.7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 6.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 6.7.3.2

$x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 6.7.3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Passaggio 6.7.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Passaggio 6.7.5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.7.5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.7.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.7.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 6.7.6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 6.7.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 6.7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.7.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.7.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 6.7.10

Riscrivi $- 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $- 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 6.7.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 6.7.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 6.7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Passaggio 6.7.12.1.3

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 6.7.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 x} v = - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 6.7.12.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$e^{2 x} v = 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 6.7.12.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 6.7.12.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Passaggio 6.7.12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{2 x}}{4}$ nel numeratore.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.7.12.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Passaggio 6.7.12.4.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 6.7.12.4.4

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 6.7.12.4.5

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.5.2

Moltiplica $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.5.2.2

Moltiplica $\frac{e^{2 x}}{2}$ per $1$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.6

Per scrivere $- x e^{2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.7

$- x e^{2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.9.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.12.9.1.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.9.1.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.9.1.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.10

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.11

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.12

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.13

Riscrivi $- (2 x - 1)$ come $- 1 (2 x - 1)$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2} + C$

Passaggio 6.7.12.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

Passaggio 6.7.13

Rimuovi le parentesi.

$e^{2 x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Passaggio 6.8

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$

Passaggio 6.8.2

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{2 x}}{2}$ nel numeratore.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 (x)) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{- e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.3

Moltiplica $- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$v = \frac{- e^{2 x} x + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.3.2

Moltiplica $\frac{e^{2 x}}{2}$ per $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.4

Combina $- e^{2 x} x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.2.4.1

Sposta $e^{2 x}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.4.2

Per scrivere $- 1 x e^{2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.4.3

$- 1 x e^{2 x}$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.2.5.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.2.5.1.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $- 1 x e^{2 x} \cdot 2$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.5.1.2

Moltiplica per $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.5.1.3

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.5.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.2.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.3

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.4.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.5.3

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 e^{2 x} x$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $e^{2 x}$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x})$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6.4

Scomponi $- 1$ da $2 C$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.3.6.6.1

Riscrivi $- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ come $- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ .

$v = \frac{\frac{- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$v = \frac{- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.6.6.3

Riordina i fattori in $- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Passaggio 6.8.2.3.8

Moltiplica $\frac{1}{e^{2 x}}$ per $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}$ .

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{e^{2 x} \cdot 2}$

Passaggio 6.8.2.3.9

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{- 2}$ a $v$ .

$y^{- 2} = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$