Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 9} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x^{2} - 9$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x^{2} - 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 9$ .

$y + C_{1} = \ln (| x^{2} - 9 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \ln (| x^{2} - 9 |) + C$